レイヤーの順序を変更していたりすると、ポップアップの枠が最上位に表示されなくなることがあります。 調べた CSS のクラス olPopup に、z-index を指定してみましたが、OpenLayers が生成する際に再設定されているらしく、この指定は無視されました。 下記のように再々設定をしてみたところ、希望通りの表示になりました。

map.addPopup(popup);
$(".olPopup").css("z-index", 10000);

OpenLayers のタイルレイヤーで、画像が無いエリアにエラー画像が表示が表示されないようにする方法です。 タイルレイヤーの範囲外の部分や、データが提供されていないズームレベルで、エラー画像で埋め尽くされるのを防ぎ、後ろのレイヤーを透過させることができます。

エラー画像は、olImageLoadError というクラスが付いていますので、下記のように非表示を強制するよう CSS を記述すれば OK です。

.olImageLoadError { 
    display: none !important;
}